Probabilidad y Estadistica

Experimento Aleatorio
Es una accion o proceso que puede tener distintos resultados posibles, y cuyo
resultado no se conoce hasta que no se lleva a cabo.
Ejemplos Experimentos Aleatorios
· tirar una moneda
· tirar un dado
· extraer una bolilla de un bolillero
· medir la cantidad de milimetros de lluvia caidos
· elegir un numero al azar
Espacio muestral
Es el conjunto de resultados posibles de un experimento
Ejemplos Espacio muestral
Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el numero que sale, el espacio
muestral es:
E = {1,2,3,4,5,6}
Vemos que el espacio muestral se denota con la letra E.
resultados distinguibles e indistinguibles.
al describir el espacio muestral de un experimento, es fundamental tener
bien claro cuales resultados seran distinguibles, y cuales indistinguibles, se pueden distinguir por orden
Suceso
Es un subconjunto del espacio muestral
Ejemplo Suceso
1) En el experimento de arrojar un dado y ver que sale, el espacio muestral es:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Cualquier subconjunto de E es un suceso, por lo tanto ejemplos de sucesos de este
experimento pueden ser:
· {1}
· {6}
· {3, 4}
· {4, 5, 6}
· {1, 3, 5}
· {2, 4, 6}
“suceso nulo”, “suceso falso” o “suceso imposible
 

Conjunto Vacio

 

· {}

Ademas de la notacion {} se puede usar la alternativa ?.

 

“Suceso verdadero”, “Suceso forzoso” o “Suceso cierto“.
 

· {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Este subconjunto del espacio muestral es exactamente el espacio muestral

(recordemos que un conjunto siempre es subconjunto de si mismo).

 

Evento
“suceso” y “evento” se consideran sinonimas. Esto es porque habitualmente, dado un experimento, su espacio muestral E y un suceso A, si se hace el experimento, y el resultado esta comprendido en el suceso A, se dice que “ocurrio” A.
 

Interseccion de sucesos

 

 

Dados A y B dos sucesos, A C B es el suceso que ocurre cuando ocurren

 

[image]

simultaneamente A y B. Se puede llamar “A interseccion B” o bien “A y B”.

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga menos de 4

B: que salga mas de 2

Con lo cual queda:

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5, 6}

A C B = {3}

 

 

Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes

 

 

Son los sucesos cuya interseccion es nula. Dados los sucesos A y B, son disjuntos <=> A C B = ?.

 

[image]

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga 1 o 2

B: que salga mas de 4

Con lo cual queda:

A = {1, 2}

B = {5, 6}

A C B = ?

Como A y B tienen interseccion nula, no pueden suceder simultaneamente.

 

Union de sucesos
 

Dados A y B dos sucesos, A E B es el suceso que ocurre cuando ocurre A, B, o los dos simultaneamente. Se puede llamar “A union B” o bien “A o B”.

[image]

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga menos de 4

B: que salga 2 o 6

Con lo cual queda:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 6}

A E B = {1, 2, 3, 6}

 

Pertenencia
Dado un elemento x, este puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x ? A.
Igualdad
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido unicamente por sus elementos.
Inclusion
Dado un conjunto A, cualquier subcoleccion B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B ? A.
Diferencia
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Diferencia simetrica
La diferencia simetrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A ? B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
Conjuntos Numericos
 

el conjunto de los numeros naturales N, el de los numeros enteros Z, el de los numeros racionales Q, el de los numeros reales R y el de los numeros complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

[image]

 

 

Complemento de los sucesos

 

 

Dado un suceso A, su “complemento” o “negado” es el suceso que ocurre si y solo si no ocurre A (y A ocurre si y solo si no ocurre el complemento de A). El complemento de A se escribe AC o bien A y se llama “complemento de A”, “A negado” o bien “no A”.

 

[image]

Ejemplo:

Si arrojo un dado, y el suceso A es que salga un 4, entonces el suceso AC es que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 o 6.

Expresados como conjuntos quedan:

E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}

A = {sale 4}

AC = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 5, sale 6}

Observamos que:

· Asi como A es un subconjunto de E, AC tambien es un subconjunto de E.

· A E AC = E, es decir, la union de A y AC forma E. Esto es logico: O llueve o no llueve.

No hay ninguna otra posibilidad.

· A C AC = ?. Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. No puede “llover” y “no llover” al mismo tiempo.

 

 

Particion del espacio muestral

 

 

Sea el espacio muestral E, y n sucesos A1, …, An.

Si se cumple que:

· A1 E A2 E E An = E “la union de los sucesos da el espacio muestral”

· Ai C Aj = ? ” i?j “todos los pares posibles de sucesos tienen interseccion nula”

Entonces se dice que A1, …, An forman una particion de E.

Como ejemplo, volvamos al experimento del dado, y definamos los siguientes sucesos:

A1 = {1}, A2 = {2}, A3 = {3}, A4 = {4}, A5 = {5}, A6 = {6}.

Veamos que se verifica:

· A1 E A2 E A3 E A4 E A5 E A6 = {1}E{2}E{3}E{4}E{5}E{6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E.

· A1 C A2 = ?, A1 C A3 = ?, …, A5 C A6 = ?.

Entonces los A1, …, A6 que definimos forman una particion de E. Graficamente, lo podemos ver asi:

[image]

Hagamos la observacion de que un suceso y su complemento siempre forman una

particion del espacio muestral, puesto que como vimos antes:

· A E AC = E

· A C AC = ?

El concepto de particion del espacio muestral nos sera util mas adelante al estudiar la

probabilidad total.

 

 

?Que es la probabilidad?

 

 

· La probabilidad expresa el grado de certeza de que ocurrira un determinado suceso al

hacer un determinado experimento aleatorio.

· Cuanto mas alta es la probabilidad de un suceso, mayor es el grado de certeza de que

ocurrira al hacer el experimento aleatorio.

· Dado un suceso A, escribimos su probabilidad como P(A).

 

 

Probabilidad

(Definicion Informal)

 

 

Si la probabilidad es 0, se sabe que el suceso no ocurrira.

Si la probabilidad es 1, se sabe que el suceso ocurrira.

Es decir, el 0 y el 1 son los casos limite.

 

 

Probabilidad

(Definicion de Laplace)

 

 

P(A) = cantidad de resultados contenidos en A

 

cantidad total de resultados

 

 

?Que significa que los resultados de E sean equiprobables?

 

 

Que tienen todos la misma probabilidad.

 

 

?Y como se sabe si los resultados que componen una determina expresion de E son

equiprobables?

 

No se sabe. Se supone.
 

Probabilidad

(Definicion empirica)

 

 

Esta definicion consiste en asociar las probabilidades de los resultados con sus

frecuencias relativas luego de repetir el experimento una determinada cantidad de veces.

De ahi el nombre “empirica”.

Es decir,

 

P? A?? frrel ? A?=

frabs ? A?

n

donde frabs(A) es la cantidad de veces que ocurrio A en las n veces que se llevo a cabo el

experimento.

 

 

Probabilidad

(Definicion axiomatica)

 

 

· Axioma 1: P(A) ? 0

“Laprobabilidad no puede ser negativa”

· Axioma 2: P(E) = 1

“Laprobabilidad del espacio muestral es uno”

· Axioma 3: A C B = ? <=> P(A E B) = P(A) + P(B)

“Dos sucesos son disjuntos si y solo si la probabilidad de su union es la suma de sus

probabilidades”.

 

5 Consecuencia de los 3 Axiomas
 

· Consecuencia 1: P(A) ? 1

“Laprobabilidad tampoco puede sermayor que uno”

· Consecuencia 2: P(A) + P( A ) = 1

“Lasprobabilidades de dos sucesos complementarios suman uno”

· Consecuencia 3: P(?) = 0

“Laprobabilidad de un suceso imposible es cero”

· Consecuencia 4: A I B => P(A) ? P(B)

“Si un suceso esta incluido en otro, su probabilidad es a lo sumo la de este”

· Consecuencia 5: P(A E B) = P(A) + P(B) – P(A C B)

La probabilidad de la union de dos sucesos es la suma de sus probabilidadesmenos la

probabilidad de la interseccion.

· Para 4 sucesos:

“La probabilidad de la union de cuatro sucesos es:

1) Las probabilidades individuales (sumando)

2) menos las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 2

3) mas las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 3

4) menos la probabilidad de la interseccion tomada de a 4″

Y asi sucesivamente, alternando el signo se puede obtener la forma de calcular la

probabilidad de la union de cualquier numero de sucesos.

 

Permutaciones sin Repeticion
 

[image]
donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)

 

Permutaciones con repeticion
 

nr
donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

 

 

Permutaciones con repeticion

 

 

nr
donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

 

Combinaciones sin repeticion
 

[image]
donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden no importa)

 

Combinaciones con repeticion
 

[image]
donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden no importa)

 

Diferencia entre Combinacion y Permutacion
 

[image] Si el orden no importa, es una combinacion.
[image] Si el orden si importa es una permutacion.

 

 

Resumen de Simbologia de Teoria de Conjuntos

 

 

Simbolo Nombre se lee como Categoria

[image]

delimitadores de conjunto el conjunto de … teoria de conjuntos
{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c
N = {0,1,2,…}

[image]
[image]

notacion constructora de conjuntos el conjunto de los elementos … tales que … teoria de conjuntos
{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.
{n ? N : n? < 20} = {0,1,2,3,4}

[image]
[image]

conjunto vacio conjunto vacio teoria de conjuntos
{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ? es la misma cosa.
{n ? N : 1 < n? < 4} = {}

[image]
[image]

pertenencia de conjuntos en; esta en; es elemento de; es miembro de; pertenece a teoria de conjuntos
a ? S significa: a es elemento del conjunto S; a ? S significa: a no es elemento del conjunto S
(1/2)?1 ? N; 2?1 ? N

[image]
[image]

subconjunto es subconjunto de teoria de conjuntos
A ? B significa: cada elemento de A es tambien elemento de B

A ? B significa: A ? B pero A ? B

A ? B ? A; Q ? R

[image]

union de conjuntos la union de … y …; union teoria de conjuntos
A ? B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y tambien todos aquellos de B, pero ningun otro.
A ? B  ?  A ? B = B

[image]

interseccion de conjuntos la interseccion de … y …; interseccion teoria de conjuntos
A ? B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en comun.
{x ? R : x? = 1} ? N = {1}

[image]

complemento de un conjunto menos; sin teoria de conjuntos
A  B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B
{1,2,3,4} {3,4,5,6} = {1,2}

 

 

Tabla Periodica – A las columnas verticales

 

 

Grupos o Familias

 

 

 

Que es la Tabla periodica
 

Es un sistema donde se clasifican los elementos conocidos hasta la fecha.

Se pueden ver sus propiedades fisicas, su reactividad o trasnformaciones en el plano atomico o melecular.

 

Cuales son los Grupos o Familias
 

  • Grupo 1 (I A): los metales alcalinos
  • Grupo 2 (II A): los metales alcalinoterreos.
  • Grupo 3 (III B): familia del Escandio (tierras raras yactinidos).
  • Grupo 4 (IV B): familia del Titanio.
  • Grupo 5 (V B): familia del Vanadio.
  • Grupo 6 (VI B): familia del Cromo.
  • Grupo 7 (VII B): familia del Manganeso.
  • Grupo 8 (VIII B): familia del Hierro.
  • Grupo 9 (VIII B): familia del Cobalto.
  • Grupo 10 (VIII B): familia del Niquel.
  • Grupo 11 (I B): familia del Cobre.
  • Grupo 12 (II B): familia del Zinc.
  • Grupo 13 (III A): los terreos.
  • Grupo 14 (IV A): los carbonoideos.
  • Grupo 15 (V A): los nitrogenoideos .
  • Grupo 16 (VI A): los calcogenos o anfigenos .
  • Grupo 17 (VII A): los halogenos.
  • Grupo 18 (VIII A): los gases nobles.

 

Cuales son los periodos
 

Son los renglones numerados de arriba hacia abajo

del 1 al 7

Sus electrones de valencia, los de la ultima capa ocupada, estan en la misma capa o nivel de energia

  • Periodo 1
  • Periodo 2
  • Periodo 3
  • Periodo 4
  • Periodo 5
  • Periodo 6
  • Periodo 7

 

Propiedades mostrados en la tabla periodica
[image]
Valencia
Numero que representa cuantos enlances puede establecer un elemento, es decir, su capacidad de combinacion
Numero de Oxidacion
Representa la carga que quedaria en el elemento cuando perdiera o ganara electrones, puede ser positivo si pierde o negativo si gana. Si el elemento no esta formando un compuesto, su numero de oxidacion es 0
 

Caracteristicas de acomodo

de los elementos de la tabla periodica

 

 

En los periodos aumentan en un proton por cada posicion.

En la misma familia, tienen el mismo numero de electrones en su ultima capa

 

Otra de agrupar la tabla periodica
 

  • Elementos representativos – Familia 1 y 2
  • Metales de transicion interna – Familia 3 al 12
  • Metales de transicion – Familia 13 al 18

 

Propiedades de los Metales
 

  • Tienen un lustre brillante; diversos colores, pero casi todos son plateados.
  • Los solidos son maleables y ductiles
  • Buenos conductores del calor y la electricidad
  • Casi todos los oxidos metalicos son solidos ionicos basicos.
  • Tienden a formar cationes en solucion acuosa.
  • Las capas externas contienen pocos electrones habitualmente tres o menos.
  • Es preciso advertir que estos caracteres aunque muy generales tienen algunas excepciones como por ejemplo , el manganeso que siendo metal forma acidos

 

Propiedades de los No Metales
 

  • No tienen lustre; diversos colores.
  • Los solidos suelen ser quebradizos; algunos duros y otros blandos.
  • Malos conductores del calor y la electricidad
  • La mayor parte de los oxidos no metalicos son sustancias moleculares que forman soluciones acidas
  • Tienden a formar aniones u oxianiones en solucion acuosa.
  • Las capas externas contienen cuatro o mas electrones*. Excepto hidrogeno y helio

 

 

Caracteristicas de: C, Li, F, Si, S, Fe, Hg

 

 

Carbono, C: ?El de las mil caras?

Carbon amorfo (sin un acomodo molecular determinado, que forma polvos o conglomerados) Grafito (la forma mas estable) Diamante (una de las joyas mas preciadas)

Litio, Li: ?Que tiene que ver con el estado de animo?

Metal alcalino descubierto en 1817 por el sueco Johan August Arfvedson. 
No esta en la Naturaleza como metal, sino formando oxidos y sales. Solo se puede recuperar su forma metalica por medio de electricidad. Tiene pocas aplicaciones: – Aleaciones con el aluminio ( 1% de este metal) Tratamientos Psiquiatricos : Algunos tipos de depresion se deben a la carencia de litio en el cuerpo.

Fluor, F: ?A combatir las caries! 

Es el mas ligero de los halogenos 

Como elemento forma un gas con moleculas diatomicas, F2 En la Naturaleza solo se encuentran los compuestos que forma. Junto con el carbono forma el polimero llamado teflon.
Tambien con carbono forma los freones, como CCI2F-CF3 y CCIF2-CCIF2′ Cuando el anion fluoruro, F- llamado hidropatita se transforma en fluorapatita y previene las caries.

Silicio, Si: La base de la computacion


Forma parte de la familia del carbono 

No tiene apariencia metalica, pero puede conducir corriente electrica. Sus propiedades electricas varian con la temperatura o anadiendole pequenas impurezas de boro B, o arsenico As Se usa para fabricar chips de computadoras y las celdas solares. Es el segundo en abundancia despues del oxigeno.

 Azufre, S: ?No huele a “infiernos”!

Como elemento es un polvo amarillo, insipido e inodoro cuya formula es S8.

Se encuentra como mineral en la Naturaleza y se extrae de los yacimientos de forma abundante. Se usa para fabricar polvora, tratamientos contra hongos, combate al acne y pomadas, fabricacion de fertilizantes y vulcanizacion.

Hierro, Fe de la varilla a los imanes


Aunque solo ocupa el 5% de masa en la corteza terrestre, es el elemento mas abundante en la Tierra.

En el suelo se encuentra oxidado formando diferentes compuestos minerales. El hierro y sus aleaciones se usan en estructuras, varillas, portones, etc. Un compuesto colorido del hierro es la hemoglobina, indispensable para nuestra salud. 

Mercurio, Hg: El atractivo veneno

Es el unico metal liquido a temperatura ambiente. Es muy util en la fabricacion de termometros y tambien en barometros para medir la presion. Todos los metales, excepto el hierro y el platino se disuelven en mercurio y forman mezclas llamadas amalgamas.

 

 

 

 

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